SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG TRONG GIẢI TOÁN TIỂU HỌC - GV: Nguyễn Thị Thảo Nguyên - Khoa GDTH-MN

Tóm tắt:Trong quá trình giải toán tiểu học việc phát hiện ra cách làm cho bài toán rất quan trọng. Nếu chúng ta biết được một phương pháp giải nào đó cũng là điều hết sức thú vị. Bài viết đưa ra các kiến thức về phương pháp phản chứng, các bước giải bài toán tiểu học bằng phương pháp phản chứng và các dạng toán áp dụng phương pháp phản chứng.

Từ khóa: Phương pháp phản chứng, giải toán tiểu học

Abstracts: In the process of solving elementary math, it is very important to discover how to solve mathetic problems. If we know a solution method is also very interesting. The article provides knowledge about the method of reaction, the steps to solve the primary math problem by the method of reaction and the mathematical forms which apply this method.

Keywords: Methods of reaction, solving primary mathematics

1.  Đặt vấn đề

Trong môn toán tiểu học, việc tìm ra lời giải của những bài toán khó luôn là điều thú vị đối với học sinh. Tuy nhiên, nếu chúng ta biết được một phương pháp để áp dụng cho một loạt các bài toán có dạng tương tự cũng là điều lý thú và bổ ích.Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứutôi cảm thấy nhiều giáo viên vẫn chưa thực sự hiểu hết về mối quan hệ của tác dụng của phương pháp phản chứngtrong việc giải các bài toán ở tiểu học. Với mong muốn giúp bạn đọc hiểu hơn về việc sử dụng phương pháp phản chứng trong giải toán tiểu họcbài viết đưa ra một số kiến thức về phương pháp phản chứng và áp dụng để giải các bài toán tiểu học thông qua các bước cụ thể.

2.  Nội dung

2.1. Một số vấn đề liên quan đến phương pháp chứng minh phản chứng

• Khái niệm

Sử dụng phương pháp phản chứng là đi tìm sự mâu thuẫn từ giả thuyết đến kết luận, tức là nếu ta muốn chứng minh kết luận của bài toán là đúng thì phải chứng minh cái ngược lại với nó là sai.

• Cơ sở lôgic của phương pháp phản chứng

Dựa vào những hiểu biết về lôgic mệnh đề trong đó sử dụng các phép liên kết lôgic là chủ yếu

- Phép liên kết lôgic hay còn gọi là phép toán lôgic, cho phép từ những mệnh đề sơ cấp cho trước có thể xây dựng những mệnh đề mới ngày càng phức tạp hơn.

- Các phép toán lôgic bao gồm: Phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương.

• Mô tả quá trình lập luận của phương pháp phản chứng

Cần chứng minh mệnh đề A  B.

Để chứng minh mệnh đề A  B đúng ta xây dựng giả thiết rằng:

 A đúng, nhưng A  B sai.

Vì A  B sai, mà A đúng nên B phải có giá trị sai nghĩa là phủ định của B là đúng.

Từ phủ định của B đúng ta thông qua một số phép biến đổi tương đương dẫn đến phủ định của A là đúng.

Từ giả thiết ban đầu và qua quá trình lập luận ta có A và phủ định của A đều đúng dẫn đến mâu thuẫn. Từ đó chứng tỏ giả thiết phủ định của B đúng là sai. Vậy B đúng hay ta có điều phải chứng minh.

• Các bước suy luận phản chứng

Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh).

Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoạc quan hệ mới mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất đã biết.

Bước 3: Ta kết luận giả sử ban đầu là sai, từ đó dẫn đến điều phải chứng minh.

2.2. Sử dụng phương pháp phản chứng trong giải toán tiểu học

2.2.1 Sử dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán liên quan đến số học

Ví dụ 1:An có 13 hộp bi mà tổng số bi trong ba hộp bất kỳ là một số lẻ. Chứng minh tổng số bi trong cả 13 hộp là một số lẻ.

Phân tích: Ta thấy xuất phát từ đề bài cho 3 hộp bi bất kỳ có tổng số bi là lẻ, như vậy chỉ có hai khả năng xảy ra:

Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ

Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ

Trường hợp 1 ta suy ra số bi trong mỗi hộp là số lẻ nên tổng số bi của 13 hộp là số lẻ.

Trường hợp 2 ta lấy một hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ được kết quả là số chẵn suy ra trái với đề bài là tổng số bi của 3 hộp bất kỳ là số lẻ.

Từ nhận xét đó thấy rằng nếu ta chỉ ra được một hộp bất kỳ có số bi chẵn thì không thỏa mãn đề bài.

Như vậy với bài này ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng để giải như sau:

Lời giải:

B1:Giả sử trong 13 hộp bi đã cho tồn tại ít nhất một hộp có số bi là chẵn.

B2: Kết hợp hộp bi chẵn đó với 2 hộp lẻ bất kỳ ta có tổng số bi của 3 hộp là số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn)

Điều này trái với đề bài là tổng số bi ở 3 hộp bất kỳ là một số lẻ. Vậy điều giả sử của chúng ta là sai.

B3: Như vậy tất cả 13 hộp bi đều là số lẻ trong mỗi hộp. Suy ra tổng số bi trong 13 hộp là một số lẻ.

Ví dụ 2: Trong 7 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6. Khẳng định trên đúng không? Vì sao?

Lời giải:

B1: Giả sử trong 7 số tự nhiên đã cho không có hai số nào có hiệu chia hết cho 6.

B2: Đem 7 số đó lần lượt chia cho 6 ta được 7 số dư nằm trong khoảng từ 0 đến 5. Do điều giả sử trên nên 7 số dư này phải đôi một khác nhau, vì nếu có hai số dư nào đó bằng nhau thì hiệu của hai số bị chia sẽ chia hết cho 6 (điều này trái với điều giả sử ban đầu). Vậy trong khoảng từ 0 đến 5 phải có 7 số tự nhiên khác nhau. Điều này vô lý vì từ 0 đến 5 chỉ có tất cả 6 số tự nhiên.

B3: Từ đó chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai. Vậy trong 7 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 6.

2.2.2 Sử dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán giải bằng phương pháp Đirichlê

Ví dụ 3:Trong một cửa hàng đồ sắt có 21 loại thùng đựng 4 loại đinh: 2 phân, 5 phân, 7 phân và 10 phân (mỗi thùng chỉ có thể đựng 1 loại đinh). Hỏi có thể tìm được 6 thùng đựng cùng một loại đinh hay không?

Lời giải:

B1: Giả sử không tìm được 6 thùng nào đựng cùng một loại đinh.

B2: Tức mỗi loại đinh có nhiều nhất 5 thùng. Khi đó số thùng của cửa hàng nhiều nhất có thể là:

4 x 5 = 20 (thùng)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết 21 thùng. Vậy điều phải chứng minh là sai.

B3: Vậy có thể tìm được 6 thùng đựng cùng một loại đinh.

Ví dụ 4:Trong hòm có 3 đôi bít tất lẫn lộn.Người ta lấy ra 4 chiếc bít tất.Có thể nói chắc chắn rằng trong 4 chiếc bít tất đó có ít nhất hai chiếc cùng đôi không? 

Lời giải

B1: Giả sử trong 4 chiếc bít tất không có chiếc nào của cùng một đôi . 

B2: Vậy 4 chiếc phải thuộc 4 đôi .Do đó trong hòm có 4 đôi bít tất.Điều này vô lí vì theo bài toán trong hòm chỉ có 3 đôi thôi . 

B3: Điều vô lí này chứng tỏ giả sử ban đầu là sai.Vậy trong 4 chiếc bít tất phải có ít nhất 2 chiếc của cùng một đôi . 

2.2.3 Sử dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán suy luận đơn giản

Ví dụ 5: Trên bàn có 4 cái thìa ,6 cái đĩa và 8 cái bát .Cất đi một sốđồ vật trên bàn chỉ còn lại 13 đồ vật .Hùng nói:"Trong số 13 đồ vật còn lại phải có ít nhất 1 cái đĩa".Hùng nói đúng không ?Vì sao? 

Lời giải : 

Tổng số đồ vật trên bàn lúc đầu là:

4+6+8=18(cái)

Tổng số đồ vật đã cất đi là:

18-13=5(cái)

B1: Giả sử Hùng nói sai thì trên bàn không còn cái đĩa nào.

B2: Vậy 6 cái đĩa lúc đầu đã bị đem cất. Điều này vô lí vì số đồ vật cất đi chỉ có 5cái B3: Vậy Hùng nói đúng.

• Một số bài có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Bài 1:Hãy chứng tỏ rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10.

Bài 2: Trường tiểu học Ba Đình có 380 học sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 2 học sinh có cùng ngày sinh nhật.

Bài 3:Bàn cờ quốc tế gồm có 8 x 8 = 64 ô vuông bằng nhau. Ném vào bàn cờ 100 viên bi thì chỉ có 35 viên bi lăn ra ngoài bàn cờ. Chứng minh rằng có một ô trong bàn cờ chứa ít nhất 2 viên bi, (kể cả trường hợp viên bi nằm ở trên cạnh ô vuông)

Bài 4: Cho ba số tự nhiên bất kì, trong đó không có số nào chia hết cho 3. Chứng minh rằng bao giờ cũng có hai số mà khi chia cho 3 cho cùng một số dư.

Bài 5: Một người mua cho cơ quan 25 bao thuốc lá gồm ba loại: Điện biên, Sông cầu và Du lịch. Hỏi trong số đó có thể có 9 bao thuốc lá cùng loại hay không ?

Bài 6: Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi đấu bóng bàn giành được ba giải nhất, nhì, ba.

Bạn Tùng nói: Tôi được giải nhì còn bạn Trang được giải nhất.

Bạn Trang nói: Tôi được giải nhì còn bạn Linh được giải nhất.

Bạn Linh nói: Bạn Tùng được giải nhất còn bạn Trang được giải ba.

Biết rằng mỗi câu nói của mỗi bạn đều có một phần đúng và một phần sai. Hỏi bạn nào được giải nào?

3.  Kết luận

  Trên đây là nội dung nghiên cứu “sử dụng phương pháp phản chứng trong giải toán tiểu học”. Mong rằng bài viết sẽ giúp bạn đọc hiểu hơn nữa về một phương pháp giải bài toán trong chương trình toán tiểu học.

--------------------------------------------------------------------

Tài liệu tham khảo

[1]Nguyễn Áng (chủ biên) – Dương Quốc Ấn – Hoàng Thị Phước Hảo – Phan Thị Nghĩa (2013). Toán bồi dưỡng học sinh lớp 5. NXB Giáo dục Việt Nam.

[2] Huỳnh Bảo Châu – Tô Hoài Phong – Trần Huỳnh Thống (2006). Chuyên đề bồi dưỡng Toán 5. NXB Đại Học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.

[3] Phạm Thành Công, Phát triển và nâng cao toán 5, NXB tổng hợp TP Hồ Chí Minh, 2011.

[4] Ngô Sách Đăng – Nguyễn Thị Hồng Nhung – Nguyễn Thị Thảo Nguyên – Nguyễn Thị Thúy Vân – Tạ Hồng Vân, tài liệu học tập một số học phần đào tạo giáo viên trình độ cao đẳng, NXB Giáo dục, 2016

[5] Trần Diên Hiển (2008). Giáo trình chuyên đề rèn kĩ năng giải toán tiểu học. NXB Đại học Sư phạm.

[6] Trần Diên Hiển (2013). 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 4-5, tập 2. NXB Giáo Dục Việt Nam.

[7] Phạm Thị Minh Tâm (2006). Tuyển chọn các bài toán hay và khó 5. NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh.

[8] Toán tuổi thơ.

Tác giả: Nguyễn Thị Thảo Nguyên – Trường CĐSP Bắc Ninh (ĐC: số 12 đường Bình Than – TP Bắc Ninh – Tỉnh Bắc Ninh)

SĐT: 0972588167

Email: Thaonguyen.cdspbn@gmail.com