Liên kết website
Quảng cáo
A- A A+ | Tăng tương phản Giảm tương phản

Vận dụng quy nạp tìm kết quả và chứng minh biểu thức có quy luật. - Giảngviên: Th.sỹ Trần Quốc Việt - Khoa GD Tiểuhọc – Mầm non

 

 

I.  Đặt vấn đề

        Quy nạp là một phương pháp suy luận toán học mà học sinh phổ thông được tiếp cận từ khá sớm để hình thành nên kiến thức, kĩ năng mới. Đến cuối cấp tiếu học thì quy nạp được phát triển thành phương pháp chứng minh toán học đối với học sinh giỏi. Mặc dù có 3 bước giải rõ ràng xong việc chứng minh một biểu thức toán học bằng phương pháp quy nạp nếu được cũng không phải là dễ dàng với học sinh – nhất là học sinh độ tuổi tiểu học.

         Bài viết này, trình bày một số kinh nghiệm trong việc sử dụng phương pháp quy nạp vào việc chứng minh các  biểu thức toán cũng như tìm kết quả của một biểu thức toán có quy luật trên tập hợp số tự nhiên.

II.  Nội dung

  1. Kiến thức, kĩ năng cơ bản

Phương pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, ta thực hiện theo ba bước sau:

  • Bước 1: Chứng minh P(n) đúng với n=1 (Hoặc với giá trị nhỏ nhất có thể của n trong biểu thức) – Bước này chỉ cần thay giá trị cụ thể của n vào tính toán.
  • Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n ={2,,k}. (Nếu không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể thay thế k bằng chính biến n) – Bước giả thiết quy nạp, bước này không cần chứng minh nhưng rất quan trọng vì vậy cần thay thế đúng điều giả sử vào biểu thức.
  • Bước 3: Chứng minh P(k+1) đúng tức là chứng minh đúng với n = k+1 (Bước này đòi hỏi phải có kĩ thuật và vận dụng linh hoạt giả thiết quy nạp để giải).
  1. Sự vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh và tìm kết quả biểu thức toán học
    1. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh biểu thức toán.

Ta xét ví dụ sau:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:

a).    

b).    

Giải

a).   (1)

+ Bước 1: Với n = 1: Vế trái của (1) 1.4 = 4 ; Vế phải của (1)  .

Suy ra VT (1) = VP(1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k . Có nghĩa là ta có: 

+ Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 . 

Tức là ta phải chứng minh:

Thật vậy theo giả thiết quy nạp

                    

Vậy (1) đúng khi  . Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số tự nhiên khác 0.

* Chúng ta thấy ở bước 3 có hai vấn đề cần chú ý.

Thứ nhất: Khi thay n = k + 1 vào biểu thức toán:                   

   Dể tránh nhầm lẫn cần xác định đúng vai trò của k+1 trong biểu thức toán và khi thay việc đóng hay mở ngoặc phải cẩn trọng làm theo tuần tự.

Thứ hai: Vì giả thiết quy nạp là giá trị của n nhỏ hơn giá trị của n ở biểu thức quy nạp là 1 đơn vị ( k so với k+1), nên để vận dụng giả thiết quy nạp ta thông thường ta viết thêm số hạng liền trước số hạng cuối cùng của biểu thức cần chứng minh.

b)     (2)

+ Bước 1: Với n = 1: Vế trái của (2)  ; Vế phải của (2)  .

Suy ra VT (2) = VP (2).  Vậy (2) đúng với n = 1.

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k . Có nghĩa là ta có: 

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k +1 . Tức là ta phải chứng minh:

 

Thật vậy :   

  

                                                                                                                   (đúng).

Vậy (2) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.

    1. Sử dụng phương pháp quy nạp tìm và chứng minh biểu thức toán.

Bài toán xuất phát: Tính tổng    với n là số tự nhiên khác 0.

Dạng bài này phức tạp hơn dạng bài trong phần (2.1) ở chỗ chưa có giá trị của biểu thức, do đó ta cần dự đoán tổng rồi mới chứng minh.

+ Dự đoán tổng:  Để dự đoán tổng ta có hai hướng tìm chính:

      -  Tìm mối liên hện giữa số thứ tự của số hạng hoặc giá trị của n tương ứng với giá trị cụ thể tổng tính được.

      -   Nghiên cứu số hạng tổng quát.

Bài toán trong báo cáo này ta sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn – tìm mối liên hệ giữa số thứ tự của số hạng hoặc giá trị của n tương ứng với giá trị cụ thể tổng tính được - thay thế n bằng một số giá trị cụ thể, lập bảng liệt kê để tìm quy luật.

N

1

2

3

4

S

Với bảng liệt kê trên, đánh giá mối liên hệ ta thấy: Tử của tổng chính là bằng giá trị của n, còn mẫu là 2 lần tử cộng 1. Do vậy ta dự đoán tổng như sau:

+ Chứng minh:

    • Với n = 1 ta có S =        (Đúng)
    • Giả sử S đúng với n = k nghĩa là ta có
    • Ta chứng mính S đúng với n = k+1 tức là cần chứng minh

Thật vậy áp dụng giả thiết quy nạp ta có    

                                                                                             (Đúng)

Vậy ta có 

  1. Một số bài toán tự luyện

Bài 1: Tính các tổng sau

Bài 2: Chứng minh rằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] G.Polya,Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo Dục, 1995.

[2] Nguyễn Áng, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.

[3] Nguyễn Áng, 50 đề thi toán học sinh giỏi tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.        

[4]. Trần Diên Hiển, 10chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4-5, tập 1, 2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.

 [5]. Nguyễn Thị Thảo Nguyên- Nguyễn Thị Hồng Nhung- Ngô Sách Đăng – Nguyễn Thị Thúy Vân, Tài liệu học tập một số học phần đào tạo giáo viên trình độ cao đẳng ngành Giáo dục Tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2014.

 

 

 

 

 

 

 


Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết
Thông báo
Thời tiết
Thời tiết Hà Nội