TÌM HIỂU CÁC BÀI TOÁN LẬP SỐ VẬN DỤNG DẤU CHIA HẾT - Thsy Trần Quốc Việt -: Khoa GD TH - MN
I. Đặt vấn đề
Số tự nhiên là mảng kiến thức cơ bản xuyên suốt trong môn toán ở các bậc học phổ thông. Với bậc tiểu học các bài toán về cấu tạo số luôn là bài toán khó, trừu tượng vì nó thường gắn với những điều kiện nào đó cho trước. Bài toán lập số tự nhiên thỏa mãn chia hết cho một số nào đó là một bài toán như vậy. Bài toán này bắt buộc học sinh khi lập số phải kết hợp chặt chẽ vấu trúc số tự nhiên với một hoặc một vài dấu hiệu chia hết để đưa được ra cách đếm số đảm bảo đểm đủ và đúng số các số cần lập.
Bài viết này hệ thống một sô kỹ thuật giải cũng như một số mấu bài tập lập số vận dụng dấu hiệu chia hết trong chương trình toán bậc phổ thông.
II. Nội dung
- Một số dấu hiệu chia hết
Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số x có tận cùng bằng 0, 5 thì chia hết cho 5.
Đây là nhóm dấu hiệu thứ nhất xét chữ số tận cùng.
Dấu hiệu chia hết cho 4: Các số x có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Đây là nhóm dấu hiệu thứ hai xét hai chữ số tận cùng.
Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 9: Trong các số x có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì x chia hết cho 9.
Đây là nhóm dấu hiệu thứ 3 xét tổng các chữ số.
Trong giải bài toán lập số có điều kiện chia hết thì thứ tự ưu tiên sử dụng theo số thứ tự các nhóm.
Tính chất số nguyên tố cùng nhau:
Với tính chất này sẽ lập được số chia hết cho 6, 15, 20…bằng cách phân tích
6 = 2.3; 15 = 3.4; 20 = 4.5…
2. Phương pháp chung
+ Gọi số cần lập theo dạng 
+ Từ dữ liệu của bài toán tìm số các chọn a, b, c … phù hợp.
Thông thường theo 2 chiều: Chọn từ chữ số hàng cao nhất trở xuống hoặc hàng thấp nhất trở lên
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 5.
Bài toán có điều kiện chia hết cho 5, dó đó chữ số hang đơn vị ta có thể cố định đượcchữ số của nó, do vậy ta sẽ lựa chọn hàng đơn vị trước, mặt khác vì trọng tập hợp các chữ số có chữ số 0, do vậy sau chữ số hang đơn vị ta sẽ lựa chọn chữ số hàng cao nhất (hàng nghìn) – vì nó phải khác 0.
Giải
Gọi 
là số tự nhiên cần tìm.
Vì chia hết cho 5 nên d có thể là 0 hoặc 5.
+ Nếu d=0, khi đó
Có 5 cách chọn a.
Có 4 cách chọn b.
Có 3 cách chọn c.
Vây có: 5.4.3 = 60 số
+ Nếu d=5, khi đó
Có 4 cách chọn a.
Có 4 cách chọn b.
Có 3 cách chọn c.
Vây có: 4.4.3 = 48 số
Vậy tất cả có 60+48=108 số.
Bài 2 : Từ các chữ số 1; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và số tự nhiên đó chia hết cho 3.
Bài toán này tập hợp chữ số để chọn không có chữ số 0 và dấu hiệu chia hết không xét chữ số tận cùng mà chỉ xét tổng các chữ số. Do đó ta cần lựa chọn các bộ 3 chữ số để lập số
Giải
Gọi 
là số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Do chia hết có 3 nên a+b+c phải chia hết cho 3.
Suy ra a, b, c thuộc một trong các tập số sau: {1;3;5}, {1;5;6}, {3;4;5}, {4;5;6}.
Mỗi tập số có thể lập được 3.2.1=6 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Vậy có 4.6=24 số
Bài 3 : Cho tập E={1;2;3;4;5;6;7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ A sao cho số tự nhiên đó chia hết cho 6 và có mặt chữ số 1.
Bài toán này có hai chú ý:
- Không có chữ số 0 vừa luôn có mặt số 1 trong số cần lập, do vậy bản chất ta chí cần lựa chọn thêm 3 chữ số nữa để lập số.
- Vì 6 = 2.3 nên dấu hiệu chia hết ta vận dụng nhóm 1 xét chữ số tận cùng và nhóm 3 xét tổng các chữ số.
Giải
Gọi là số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Số tự nhiên chia hết cho 6 là số tự nhiên vừa chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Do đó d chẵn và a+b+c+d phải chia hết cho 3, và luôn có mặt chữ số 1.
Vậy {1;2;3;6}, {1;2;4;5}, {1;2;5;7}, {1;3;4;7}, {1;3;5;6} là tập con lấy ra để lập số
+ Xét 3 tập hợp chứa 1 chữ số chẵn là: {1;2;5;7}, {1;3;4;7}, {1;3;5;6}.
Mỗi tập hợp có 1 cách chọn d, và 3.2.1=6 cách xếp 3 chữ số còn lại.
Suy ra có 3.6=18 số.
+ Xét 2 tập chứa 2 chữ số chẵn là: {1;2;3;6}, {1;2;4;5}.
Mỗi tập hợp có 2 cách chọn d, và 3.2.1=6 cách xếp 3 chữ số còn lại.
Suy ra có 2.2.6=24 số.
Vậy tất cả có 18+24=42 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 6 và luôn có mặt chữ số 1.
4. Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho tập X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X trong mỗi trường hợp sau:
a. n là số chẵn.
b. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
a) 3000 b)2280.
Bài 2: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
(54 số)
Bài 3: Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
(50000 số)
Bài 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 15?.
(8 số)
III. Kết luận.
Giải các bài toán cấu tạo số có sự vận dụng dấu hiệu và tính chất chia hết, sẽ giúp học sinh phổ thông được luyện tập và củng cố rất nhiều kiến thức số học quan trọng. Việc phân loại và đưa ra thuật giải góp phần giúp các em dễ dàng nắm bắt được các kiến thức đó. Kiến thức số học khó và đa dạng nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô giáo đồng nghiệp và HSSV.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Áng, Toán bồi dưỡng học sinh lớp 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[2] Nguyễn Áng, 50 đề thi toán học sinh giỏi tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[3]. Trần Diên Hiển, 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4-5, tập 1, 2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[4] Đỗ Đình Hoan (chủ biên) và tập thể các tác giả, Toán 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo Dục, 2008.
[5]. Nguyễn Thị Thảo Nguyên- Nguyễn Thị Hồng Nhung- Ngô Sách Đăng – Nguyễn Thị Thúy Vân, Tài liệu học tập một số học phần đào tạo giáo viên trình độ cao đẳng ngành Giáo dục Tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2014.
